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By Otto Forster

F?r die vorliegende 6. Auflage wurde neben der Korrektur von Druckfehlern der textual content an manchen Stellen weiter ?berarbeitet und es kamen einige neue ?bungsaufgaben hinzu.
Die bew?hrten Charakteristiken des Buches haben sich nicht ge?ndert. Es dringt ohne gro?e Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten (Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation, Integration, Reihen-Entwicklung) vor und illustriert sie mit vielen konkreten Beispielen.
Das Buch ist bestens geeignet f?r Anf?nger-Vorlesungen in research f?r Mathematiker (Diplom und Lehramt), Informatiker und Physiker.

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N folgen wtirde. würde. < Efür fUr aIle alle n ? N, woraus der Wider- Corollar. Seien A ~ B reelle Zahlen und (an) eine konvergente Folge mit A ~ B für for aile alle n. iman lim an n--+ oo ~ B. Unendliche Reihen Sei (an)nEN eine Foige Folge reeller Zahlen. Daraus entsteht eine (unendliche) Reihe, indem man, grob gesprochen, die Folgenglieder Foigenglieder durch ein Pluszeichen verbindet: ao +a\ +a2 +a3 +a4 + ... Dies lässt lasst sich so prazisieren: präzisieren: Für Ftir jedes m mEN E N betrachte man die sog.

Für Ftir x = 1 1 1 1+ 2 + 4 + 8 + 1 1 1 1 - 2+ 4 - 8 + ±! erhält erhiilt man die bei beiden den Formeln Formein 1 1 16+··· = 1-1/2 =2, 1 1 2 16 =f ... = 1 + 1/2 = 3· Satz 7 (Linearkombination konvergenter Reihen). Seien Lan Lan und n=O Lbnn Lb n=O zwei konvergente Reihen reeller Zahlen und A, fl E lR. IR. Dann konvergiert auch die Reihe l:;;'=o(Aan + flbn) und es gilt n=O n=O n=O Dies ergibt sich sofort, wenn man das Corollar zu Satz 3 auf die Partial Partialsummen summen anwendet. Bemerkung. Mit den Begriffen aus der Linearen Algebra lässt liisst sich Satz 7 abstrakt so interpretieren: Die konvergenten Reihen bilden einen Vektorraum tiber über dem Körper Korper IR, JR, und die Abbildung, die einer konvergenten Reihe ihre Summe zuordnet, ist eine Linearform auf diesem Vektorraum.

Woraus folgt 111 = 1. 12) Setzt man in b) x = Y FUr x = Y y = -1 ergibt sich 1_112 Für 1_11 2 = 111 = 1, also 1-11 = 1wegen a). Daraus folgt I-xl = Ixl lxi für fUr alle x. 13) Für FUr alle aIle x, y E IR R mit y =F 0 gilt I~I = :;:. Beweis. y, folgt aus der derMultiplikativitlitdes Multiplikativität des Betrages Ixl lxi =1~1·lyl. Bringt man Iyl lyl auf die andere Seite, erhält erhlilt man die Behauptung. 14) Für FUr aile alle X,y x,y E R IR gilt Ix-yl ~ Ixl-lyl Ixl-Iyl Ix+yl ~ Ixl-lyl· Ixl-IYI· und Aus x = (x - y) + Y erhält erhlilt man mit der Dreiecks-Ungleichung Addition von -lyl -Iyl auf beiden Seiten ergibt die erste Ungleichung.

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